허수는 존재하는가?

출처 : https://youtu.be/T647CGsuOVU?list=RDCMUConVfxXodg78Tzh5nNu85Ew 

 

해당 영상의 내용(Imaginary Numbers Are Real)을 간략화하고 개인의견을 첨가해서 스터디로 진행.

 

진행하기에 앞서,

대수학이란? 일반적인 수를 대표시켜 수의 관계, 성질, 계산 법칙등을 연구하는 수학

대수학의 '대(代)'는 대신할 대

 

'대수학의 아버지'라 불리는 알콰리즈미

대수학의 영어인 앨지브라는 이사람 책에서 온 말이고, 알고리즘은 이사람 이름 자체

책 내용은 대충 1,2차 방정식임

본론인 영상 내용으로 들어가면,

대표적인 허수근을 가지는 가장 기초적인 방정식이고, 고등학교에서 허수를 공부할 때 한번씩은 봤을만한 그래프.

200년 전 가우스는 n차수의 모든 다항 방정식은 n개의 근을 가진다고 증명함. (대수학의 기본 정리 = 대수학의 토대)

기존의 수 체계에서는 위 그래프의 근을 구할 수 없었음. 그래서 허수라는 것이 나오게 됐는데.

정확히 알기 위해서 숫자란 무엇인지에 대한 내용부터 설명.

 

처음에 사람들은 자연수만 사용함

문명이 발전하면서 자연수만으로는 해결 불가능한 문제들이 생겼고, (경작지 씨뿌리는 시점, 땅나누는 법, 금전거래 등)

이집트인은 이것을 '분수'로 해결함

여기까지만 체계가 잡혔어도 큰 문제는 없었지만, 문화권에 따라 음수를 받아들이지 못하는 곳도 많았음.

불과 200년전까지만해도 음수의 사용을 기피했음.

 

하지만 수학이 발전하면서 음수의 개념이 필요한 상황이 계속해서 생기게 됨. (부채 등)

음수가 받아들여지지 않았을때 아래와 같은 상황도 해가 없는 상황이었음.

음수와 허수는 실생활에서 볼 수 있는 무언가와는 전혀 닮은 구석이 없어 보이지만. 

왜 우리는 그런 개념들을 사용하고 받아들이고 있을까?

영상의 표현을 빌리자면 '음수와 허수는 매우 유용하고, 좋은 질문들을 우리에게 던져 준다.'

앞으로의 내용은 그런 이야기.

 

500년전 유럽에서 어떤 사건이 일어나서 더이상 수학자들이 이러한 수들을 무시할 수 없게 됨.

 

수학자 페로(DEL FERRO : 1465~1526)

특정한 경우의 3차식의 근의공식을 만듦

옛날 수학자들은 유명할수록 돈을 더 벌었음. 

타르탈리아도 알고있다고 말했는데 거짓말이었음. 나중에서야 겨우 알아냄.

알아낸것으로 피오르를 완벽하게 제압했고, 계속 비밀로하면서 대결에 써먹음.

근데 카르다노가 최초의 발견자인 페로의 작업을 검토한 후, 자기 책에 실음

 

위 모양에만 적용가능한 공식을 만듦.

이 시절에는 보통 '해가 없다'고 했다. 우리 고등학교 때처럼..

하지만 3차식은 최소한 1개의 해를 가지는데 공식으로 나온 것은 허수근이 나옴. (=모순)

문제의 원인을 밝혀내는 것은 세대가 지난 후..

음수의 루트는 자신을 곱했을때 음수가 나오는 수를 찾아야한다.

이 수는 음수도 양수도 될 수 없다.

봄벨리의 첫번째 통찰은 단순히 양수와 음수가 불가능 하다면, 전혀 다른 종류의 수는 가능할 것이라고 인정하는 것

그것으로 인해서 이제껏 수학자들이 불가능하다고 생각해왔던 문제들이 많이 해결됨.

보는것 처럼 우리가 익히 알던 대수적 성질들이 모두 적용됨.

봄벨리의 두번째 통찰은, 허수근을 가지지 않는 근이 있어야하므로, 위의 허수들이 상쇄 될것이라 생각함.

과정에서 -1의 제곱근을 포함하도록 확장함으로써 답을 찾을 수 있었다.

( = 이런 방식으로 숫자 시스템을 확장하는 것이 많은 문제해결에 도움이 된다는 것을 알게 됨)

현실에서 상상할 수 있는 어떤 것과도 일치하지 않기 때문.

그래서 '가상' '불가능'이라는 끔찍한 이름이 주어였다.

기존 실수(음수의 연산)에서는 180도 회전하는 연산만 진행했었음.

제곱해서 음수가 되려면 그림처럼 90도만 회전하는 숫자가 있어야 함 (=허수의 연산이 하는 일)

우리는 이것을 복소평면이라고 부르기로 했어요

왜 강력한 도구인가에 대한 설명

이경우는 벡터로 똑같은 작업을 할 수 있어서 특별해 보이지는 않음.

저 내용을 이제 써먹을 차례.

처음으로 돌아가서 우리는 3차식에는 3개의 근이 있어야한다는 것을 알고 있음.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

'연산에 의해 닫혀있는 것'

'체계의 확장' 여기서 체라는 것은 군이론에서 말하는 field.

2차원 복소수 대신 3차원의 또 새로운 숫자일수도있음.

다행히 그렇지 않음

복소수로 할 수 없는 덧셈, 뺄셈, 나눗셈, 지수, 근추출법을 사용하는 것은 세상에 없다는 결론.

 

 

여기까지 이해했다면, 사원수에 관해서도 이해할 수 있음.

죽고나서 아들이 사원수 원론 출판.

잘보면 기념비에도 다음 문구가 적혀있음

 

 

 

 

이런식으로 팔원수(옥토니언), 십육원수 등도 정의가능하지만 실용적이지 않아서 쓰이지 않음.

*사원수가 3차원 회전 표현이라면 팔원수는 7차원

 

 

 

 

 

 

 

 

다시 처음으로 와서

실제로 이해하려면 조금 더 깊이 파고들어야 한다.

추상적인 아이디어를 우리 두뇌가 훨씬 직관적으로 이해할 수 있는 형태로 변환해주기 때문에 강력하다.

위 내용에서 경험해봤겠지만. (<= 데카르트 좌표계말고 복소좌표계에서) 대수학과 기하학을 하나로 묶음. 

복소수 함수는 복소수를 입력받아서 복소수를 반환함. (input 2차원 + output 2차원)

=

점 하나하나 찍기 귀찮으니 파이썬으로 코드를 짜서 그림

앞서 두개의 복소수를 곱하면 값이 곱해지고 각도가 추가되는 것을 보았음.

평행이동 (+1부분)은 잠시 빼놓음

 

 

 

 

 

직선만 그렸을때, 예상대로 크기 제곱, 각도는 2배가 되는 것을 확인

원의 경우 모양은 유지되나 반지름이 증가

예상되로 되었지만,

1. 우리는 가장 간단한 함수를 다루고 있고.

2. 이 간단한 함수로도 복소수의 두 평면을 설정하는데 문제가 발생함

한 지점에 표시된 여러 값을 처리 할 수 없기 때문에 발생하는 문제

반대의 경우(역함수)로 이를 해결.

한개의 입력, 두개의 출력 -> 한개의 입력, 두개의 출력

엄밀히 말하면 역함수라고 부르면 안되고 다중함수(Inverse Multifunction)라고 해야함.

*수학에서 함수는 하나의 출력만 가지는 것을 함수라고 하기 때문

 

이제 오른쪽처럼 그리면 왼쪽의 두개의 그림이 생김

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

이런 경우는 왜 생기는 걸까?

베른하르트 리만. (가우스의 제자이고, 리만 가설의 그 리만)

이경우 어떤 평면으로 갈지 어떻게 선택할지에 대한 의문이 듦.

반반씩 쪼개서 한 평면에 표시

어디로 연결되는지 보기 위해서 색상을 넣음.

 

하지만 이것도 어떻게 연결되는지 직관적이지는 않다..

그래서 직접 만듦! (교육에 진심인 편)

위에서 두개의 평면으로 나누어서 

ㅠㅠㅠㅠㅠㅠㅠㅠ

 

 

 

 

 

 

평면의 2차원 높이로 x를 나타냈지만 y는 아직..

평면이 겹치는 부분에서 위로 갈지 아래로 갈지.

먼저 표면이 '자체 교차'하는 이유

이 교차는 w평면의 음의 실수축을 따라 발생

4차원을 3차원에 그리려고 했기떄문에 나타나는 본질적인 한계.

생상 자주쓰는 이유! (스토리보드 화살표, 링크 아이콘 등등)

인지(차원)를 확장하기 위해.

실제로 교차하는 것이 아니라 연속적인 평면임.

위 평면에 아까 그렸던 경로를 다시 그려보자

녹색 경로가 다른곳에서 끝나는 이유는 표면의 다른 층으로 갔기 때문

남은 부분도 표시하면 다른 평면에 그려짐.

리만 평면으로 앞에서 본 이상한 현상을 아름답게 설명했음.

 

 

 

 

자, 드디어 처음 질문에 답할 순간이 왔다.

왜 영상의 처음부분 그래프는 그렇게 생겼는가

가우스는 옳았다.

 

마무리.

 

여기까지 수학자들의 여정을 따라가보았음.

간단한 식(y=x^2+1)에서 의문을 품고 결국 마지막 결과를 찾기위해 몇백년간 온갖 지식들을 동원함.

 

정리하면,

1. 수학자들은 이런짓거리들을 하면서 재미와 지적 쾌락을 얻음

2. 단순히 궁금증을 해결하기 위해 만들어진 체계와 방법, 아이디어가 실제 세상에 도움이 될 수 있다.

   (중간 결과물로써 사원수)