오일러공식과 사원수(Quaternion)

서론

시작하기에 앞서, 수식을 너무 어려워하지 말자.
결국 관계를 표현한 것.
관계는 비례, 반비례 뿐이고,
더하기, 빼기로 합성이 끝.

 

추가로 수식에 나오는 이상한 기호들은 축약된 표현. 즉, 줄임말이다. (겁먹을 필요 없다)

그래도 어려워하겠지만..

 

이 수식을 보면 뭐가 떠오르시나요?

네. 모른다면 당연히 저게 뭔데? 할 것. (아는 사람은 다르게 보일지도?)

 

2014년 런던에 위치한 한 대학 연구실에서 실험을 했습니다.

연구자들은 15명의 수학자들에게 총 60개의 수식을 보여주고 뇌를 MRI로 촬영함.

놀랍게도 수학자들은 특정 수식을 볼 때 우리가 아름아운 미술 작품을 볼 때나 음악을 들을 때. 

즉, 시각이나 청각적 아름다움을 느낄 때 활성화되는 전두엽의 특정 부위가 동일하게 활성화된다는 사실을 관측.

 

미친놈들이죠..? 근데 수학자들은 미쳤다고 하면 더 좋아함.

실제로 미친 사람(존 내쉬)이나 다른 사람들이 보기에 미쳤다고 생각되는 사람이 많은 편..

책 주인공은 헝가리 수학자 폴 에어디쉬

 

여튼 위 실험에서 수학자들이 가장 아름답다고 느낀 식이 바로 위에서 보여드린 오일러 공식

 

반대로 가장 추하다고 느낀 공식은

 

흔히 생각하기에 수학자나 물리학자들은 이런 복잡한 수식을 즐기는 사람들이라고 생각하기 쉬운데, 

사실은 정 반대임. 그야말로 극단적인 단순함과 대칭을 병적으로 선호하는 것이 이 사람들.

인간은 뇌의 생각과 느낌을 함축적(혹은 효율적)으로 나타내는 것을 아름답다고 느끼는 것 같다

(개인적인 생각입니다.)

 

왜 그런 것을 느끼는지 오늘 오일러공식 증명을 한번 차근차근 따라가 보겠습니다. 

(+사원수를 이해하려면 알아야 해서..)

 

개인 생각+유튜브 내용+아래 책 내용(14~16장)으로 스터디 진행합니다.

http://www.yes24.com/Product/Goods/107025224

이득우의 게임 수학 - YES24

 

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허수 i

허수 i 에 대해서는 저번 스터디에서 어느 정도 배웠다.

(다 이해하지 못해도 2/3 정도만 이해하면 됨..)

 

https://westcastle.tistory.com/5

허수는 존재하는가?

그래도 간단하게 알아보자면..

 

i 는 제곱했을 때 -1이 나오는 수.

 

복소수는 실수부 + 허수부로 다음과 같은 연산의 성질이 있다.

복소수 연산의 성질

 

허수의 분모로 하는 체계는 정의하지 않았으므로 켤레 복소수 사용 (무리수에서 연산을 편하게 하기 위해서 했던 그것.)

복소수 곱셈의 역원

 

이렇게 복소수 집합은 덧셈과 곱셈에 대한 교환,결합,분배법칙이 성립되고.

항등원과 역원이 존재하므로 체의 구조를 만족함.

 

쉽게 말해서, 우리에게 익숙한 실수와 동일한 구조라서 사용되던 정리나 공식이 적용된다.

(나중에 나오겠지만 사원수는 교환법칙이 성립 안 함..)

 

복소평면 (x축은 실수축, y축은 허수축인 좌표계)

복소평면

 

복수수끼리 곱하면 각도는 더해지고

 

크기는 곱해짐

 

 

 

위 개념이 이해됐다면

기존 풀이법

 

복소평면에서 직관적인 풀이

 

i 는 복소평면에서 회전과 관련이 있음.

(a, 0)에 i를 곱하면 90도 회전

 

일반화. (i곱하면 90도씩 돌아감)

 

 

단위원 그래프 공식을 이용해서 복소평면의 회전을 삼각함수로 표현할 수 있다.

(삼각함수에 대한 이야기는 이거 다음)

복소평면에서 회전을 삼각함수로 표현

 

여기에 임의 복소수(x, y)를 곱하면

회전 변환 공식..?

 

(a, b)를 𝜽만큼 회전

 

이번엔 다른 각을 갖는 2개의 단위 복소수 곱

그냥 각을 더한 것과 같다. (삼각함수 덧셈 정리)

 

당연하게도 0도를 돌리는 것은 항등원이다.

 

켤레 복소수의 회전 변환

켤레 복소수는 (1, 0) 기준으로 반대방향으로 𝜽만큼 회전

 

𝜽만큼 회전 하고 -𝜽만큼 회전 해서 제자리

 

켤레 복소수는 -𝜽만큼 회전

 

허수는 이 정도로 마무리하고..

(재미와 역사는 이전 스터디 참고)

 

방금 배운 복소수는 복소평면 상(2D)에서 회전이고,

사원수는 위 회전을 3D평면에서 한다고 생각하면 됩니다. (나중에 배움)

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 원주율 π

파이에 관한 설명

 

아래 영상은 숫자에 관한 다큐인데 재미있었음.

https://youtu.be/j9OldWbdxVs?list=PLZBAOFoiNZRff--G3s21UZrVH2c2jucqG 

복희여와도 / 중국 7세기경

 

중국 위구르 쪽 무덤에서 발견된 것인데, 현재 우리나라 국립중앙박물관에 있음.

1910년대 초 일본 승려가 투루판 분지에서 약탈해온 유물인데, 일본 재벌이 조선총독부에 뇌물로 건냈다고..

 

복희와 여와는 중국 신화에서 이 세상을 창조한 신들임.

그런데 잘 보면 손에 각도기(여와)와 직각자(복희)를 들고 있음.

 

 

천자.

스스로가 하늘의 아들이라고 부르던 시대.

 

일 년의 마지막 날. 황제가 시간을 정한다.

달력을 제후국에 나누어 줌.

 

 

 

시간을 지키는 규칙이 문명을 세웠다.

모든 것이 시간에서 시작된다고 믿음.

 

가장 오래된 천문학 책(주비산경/기원전 100년경)을 보면 

시간을 만드는 과정이 나와 있다.

첫장에 원과 네모

복희와 여와가 들고 있는 각도기와 직각자로 그릴 수 있는 규칙 있는 기본 도형.

이 원과 사각형은 하늘과 땅을 표현함.

 

시계가 없던 시절 시간을 알 수 있었던 한 가지 방법은 하늘이었음.

황제만 하늘을 관찰할 수 있었음. 

 

옛날, 예의와 법도를 처음 세운 황제 '주공'은 별이 그리는 원을 어떻게 잴 수 있을까 고민

수에 능통한 신하 상고에게 물어봄.

 

주공: 하늘은 계단을 밟아 오를 수 없고, 땅을 넓어서 잴 수가 없는데 그 수를 어떻게 알아내는가?

상고: (각도기와 직각자로 그릴 수 있는) 원과 사각형에서 일정 비율을 곱하면 알 수 있습니다.

 

주비산경의 구고현 정리(피라고라스 정리) 를 이용.

주비=기다란 막대기, 산경=계산하는 책

이런 식으로 기다란 막대와 그림자를 이용해서 태양의 주기와 위치를 계산. (구는 밑변, 고는 높이, 현은 빗변)

 

하늘의 시간을 인간에게 준다.

이것으로 백성들이 씨를 뿌릴 시기를 알았고, 조상의 제삿날을 알았음

예의와 법도가 섰다.

완벽한 하늘의 이치를 땅에 실현시키겠다는 의지. (정사각형속 원그림)

 

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이런 식으로

삼각형의 변의 비율을 크기에 상관없이 각도에만 영향을 받고, =>  '삼각비'

원의 둘레도 지름의 특정한 배수가 됨을 고대에서부터 알고 있었다. => '원주율'

하지만 고대 중국은 π를 3으로 씀.

 

더 거슬러 올라가면 기원전 500년경 고대 그리스.

그리스 같은 경우는 온갖 나라의 사람들이 모여들었기 때문에 법과 규칙이 더욱 발달했다.

 

아낙사고라스의 원적문제 = 원과 같은 크기의 사각형을 작도할 수 있는가?

이 문제는 이후 2천400년간 풀리지 않음.

이 문제에 매달린 이유는..

히포크라테스가 이미 곡선으로 둘러싸인 도형의 넓이를 구한 적이 있어서.

반달의 남은부분 크기는 직각삼각형과 같다.

 

 

15세기 원적문제를 접한 (유명한) 사람.

레오나르도 다빈치

비트루비안 맨

 

위 그림의 특징

1. 글자를 거꾸로 써서 거울에 비춰봐야 글자를 읽을 수 있음
2. 인체를 수학으로 계량해서 각 부위를 정확한 비율로 그림
   • 손바닥의 길이는 키의 1/10
   • 발바닥에서 무릎관절 아래까지는 1/4
   • 턱끝에서 정수리 아래까지는 1/8
3. 원의 중심은 배꼽, 사각형의 중심은 성기

어깨선에서 그린 원이 정사각형과 유사하다고 하는데, 풀어봤다는 기록만 있고 풀이가 이게 맞는지는 밝혀지지 않았다.

원은 153.94, 사각형은 153.51로 유사하기는 함.

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아르키메데스. 세계 3대 수학자 중 한 명 (나머지는 뉴턴과 가우스)

 

아르키메데스 때는 수학에 대한 개념 자체가 없을 때인데, 

원주율, 구분구적법 등을 알아냄.

외에도 전쟁무기 등을 제작해서 시칠리아를 철벽 방어함.

 

 

원 두 개를 조각내서 다음과 같이 합치는 과정

원넓이는 직각삼각형 넓이.

 

원둘레는 직각삼각형의 밑변.

원주율을 직각삼각형의 밑변의 길이를 구하는 문제로 바꿈. 하지만 정확한 값은 알 수 없었다.

 

이번에는 지름이 1인 원안에 삼각형 여러 개를 채워서 넓이를 계산

아르키메데스는 이런 식으로 96 각형까지 계산해서 3.14라는 근삿값을 얻음.

 

(기원전 212년. 2차 포에니 전쟁 중) 2년간 아르키메데스가 우주 방어하던 도시에서 

아르키메데스는 구와 원기둥 부피에 대한 영감이 떠올라서 잠시 연구를 하러 간 사이 도시가 함락되고,

상대방 장군이었던 마르켈루스는 부하에게 아르키메데스를 잘 모셔오라고 했는데..

ㅠㅠ

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더 오래전 이집트에서도..

분수와 삼각비에 관련된 내용도 있다

 

가운데 삼각비 설명뿐 아니라,

우측 하단에 보면 사각형과 내부의 원도 보인다.

 

이것보다 더 오래된 기원전 1800년경 린드 파피루스에서는 원적문제에 대한 대략적인 답이 나와있는데 

이 정도라고 한다.

 

문제가 생긴 이후 대략 2400년 후인 1882년에 린데만이라는 수학자가 원주율 π는 '초월수'라는 것을 증명하면서

원적문제가 불가능하다는 것을 증명했다.

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초월수란?

이전에 초월의 뜻은? => 인식이나 경험의 범위 밖에 있는 것.

 

초월수의 반대말은 대수적 수

초월수를 알기 위해서는 대수적 수를 알아야 한다.

 

대수적 수의 정의

대수방정식의 해가 될 수 있는 수

 

초월수라는 이름 자체는 라이프니츠가 붙임

간단히 말해서 n차 방정식의 해가 될 수 있는 수를 대수적 수라고 한다. (오일러가 정의)

 

나중에 무한의 선구자 칸토어가 1873년도에 다음을 증명

• 대수적 수 집합 ~ 유리수 집합 크기
• 실수 집합 ~ 비가산 집합

쉽게 말해서 기존 연구되던 대수적 수들은 매우 일부분이고, 사실 대부분은 초월수다.

현재까지도 대중들에게 알려진 초월수는 그렇게 많지 않은데 대표적인 것이 π, e 이다.

 

 

이제 또 다른 초월수인 e에 대해 알아보자. 

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자연상수 e

 

e는 이름이 e로 시작하는 어느 수학자의 이름을 따와서 지어짐.

 

1618년도 log를 만든 존 네이피어 => 숫자 발견

중요한 숫자라는 것을 인지하지 못함

 

이후 1683년 야콥 베르누이(동생은 요한 베르누이. 로피탈 정리로 유명)는 e를 상수로 생각하고 정의를 만듦

야콥 베르누이는 극한의 효율을 추구했는데..

 

1년이라는 기간 동안 이자율이 100%라고 가정 (입금한 금액은 1)

복리 일시 가장 많이 뽑아먹을 수 있는 수익을 계산

• 1년 동안 맡길 경우 1(원금)+1(이자) = 2
• 중간에 한번 빼고 다시 전액 맡길 경우 1(원금)+0.5(중간이자)+0.5(원금 끝이자)+0.25(중간이자의 끝이자) = 2.25
• 이런 식으로 반복하면 수익이 점점 늘어나겠네..?

• 4번 맡기면 2.4414...
• 1년에 하루씩 365번 하면 2.7...
• 기간을 잘게 쪼갤수록 늘어난다. 이를 무한 번 반복한다면?

수식으로 나타내면 (e를 정의)

하지만 야콥 베르누이도 저서로 만들지는 않음.

우주최초로 자기 이름을 싣고 출판까지 한 사람이 '오일러'(euler)

 

e는 위에서 말한 대로 무리수이자 초월수.

왜 자연상수라고 불릴까? => 사용되는 연산을 자연스럽게 만들어 준다(?)

π도 원이나 곡선과 관련된 숫자의 계산을 자연스럽게 만들 수 있음. (넓이, 둘레, 각도 표현 등)

 

하지만 e는 π와 비교도 안될 정도로 훨씬 많은 분야에서 활약하기 때문에 자연상수라는 이름이 붙였다.

 

대표적인 성질로는 (자연지수함수로 특히 많이 활용)

1번 특징은 미분을 아무리 많이 해도 자기 자신이 됨.

2번은 밑이 e인 경우를 자연로그라고 하는데, 너무 중요한 나머지 ln이라고 따로 명칭을 만듦. 미분하면 1/x

3번에 보면 지수함수의 특징인데, 곱을 합으로 변환.

4번은 유리함수에서 1부터 특정 범위까지의 넓이가 1이 되는 범위가 e

이 중 1번과 3번의 특징이 나중에 사용된다.

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잠깐 위에서 나온 미적분에 대한 기호를 간단하게 설명하고 넘어가도록 하자

미적분은 뉴턴과 라이프니츠가 거의 동시에 체계화하고 발전시켰다고 전해진다.

이것 때문에 영국이랑 독일 수학자들이 싸웠다고 함..

(뉴턴이 10년 정도 빨랐는데 논문을 내진 않았어가지고 논란이 됨)

 

여튼 적분이 훨씬 이전에 나오고 이후 미분이 알려졌는데,

반대의 개념이라 같이 묶여서 배우고, 미분이 계산이 더 쉬워서 앞에 배우게 된 듯함.

 

참고영상

https://youtu.be/qcorAuRQJzA

 

미분의 핵심은 변화 예측.

변화유발자에 대한 식. (현실에서는 보통 시간t. 수학에서는 x)

이 변화에 간격을 매우 가까이 좁히면 다음 변화를 알 수 있을 것이다.를 식으로 표현한 것.

이 가까이를 나타낼 때 사용되는 기호가 lim

미분은 보통 '으로 표현하는데, 대학 이상에서는 dy/dx를 활용할 일이 많아서 이걸 더 많이 쓴다.

(결과적으로 라이프니츠 승)

 

여기서 d는 => '변화를 끄집어낸다'는 뜻

무수히 많은 순간 변화를 합치는 것을 인테그랄(적분기호)로 표시. 그래서 인테그랄 뒤에는 항상 d가 붙는다.

적분기호 위아래로 숫자가 붙는 경우가 있는데 이는 해당 넓이를 구할 범위를 지정하는 것. => 정적분이라고 한다.

그냥 부정적분만 하는 경우 적분 상수(+C)가 남는다 (정보 부족으로. 반대로 미분했을대는 상수가 사라짐)

범위를 지정하면 적분상수끼리 빠져서 넓이 값만 남음.

 

 

 

미분은

(dx를 왼쪽으로 옮기면 df(x)/dx꼴로 미분 기호가 됨)

 

 

이런 식으로 다항함수는 간단한 공식으로 미분할 수 있는데..

고등학교 과정에서 초월함수미분, 삼각함수미분, 지수/로그함수미분, 유리함수미분, 등을 배운다.

그걸 또 합성함수로 섞어놓는다.

 

이러면 계산이 엄청 복잡해지고 더러워지는데 여기서 자연지수함수가 아주아주 유용하게 쓰인다.

(e를 이과만 아는 이유)

 

자, 대략적인 미적분 개념도 알아보았다. 이제 e의 미분이 왜 그대로인지 수식으로 알아보자.

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이제 테일러급수를 배울 텐데, 

그전에 삼각함수 sinx와 cosx의 미분도 확인해보도록 하자. (테일러급수가 무한미분 가능한 함수만 가능해서)

이런 식으로 무한미분하면 4주기마다 반복되는 함수이다.

 

급수는 이런 모양

이건 멱급수라고 한다. (항마다 계수가 다른 급수)

테일러급수, 매클로린급수라고 하는데 무한미분 가능한 함수를 급수 형태로 근사하는 방식이다.

(아래와 같이 간단한 형태는 매클로린급수라고 함)

x에 1을 넣었을 때 5번째 항까지만 계산해도 e의 값과 0.01 차이밖에 없는 것을 확인할 수 있음.

 

 

테일러급수는 n번 미분한 도함수에 0을 대입한 형태로 일반화할 수 있다.

이를 이용해서 sinx, cosx의 급수 형태를 구해보면

다음 그림처럼 항이 추가될수록 비슷해지는 것을 볼 수 있다.

컴퓨터 계산 활용 예

 

이제 조각을 모아놓고 보면..

x자리에 i𝜽를 대입해보면. 위 식의 모양이 보인다..!

𝜽가 π가 되면!!!

수학의 대표적인 분야들(해석학, 기하학, 대수학)에서

가장 대표적인 수들이 한 공식에 모여서 간결하게 떨어지기 때문에 수학자들이 아름답다고 느낀다.

• 해석학의 대표적인 자연상수 e
• 기하학의 대표적인 상수 π
• 대수학의 대표적인 허수 단위 i

가 모여서 곱셈의 항등원 1과 덧셈의 항등원 0을 만듦.

 

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(고대부터 Q.E.D라는 표현을 썼는데, 요즘은 건방진 의미가 있어서 약식 표기를 주로 함)

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여기서부터는 오일러공식의 TMI인데 재미로..

허수에 허수승을 했는데 실수가 나옴

e^ix는 주기함수이므로 5π/2, 9π/2 등을 넣어도 다른 값이 나온다.

 

같은 함수의 다른 표현

여기까지 이해했다면 이제 유튜브에 다양한 해석을 즐길 수 있다.

아래 영상에서는 e^x가 곱셈기와 덧셈기를 자연스럽게 전환한다고 설명한다. (아까 말한 지수함수의 특징)

https://youtu.be/F_0yfvm0UoU

 

이런 식으로 함수의 성질로 증명하는 방법도 있다.

https://youtu.be/xdsGmMI8Vjs

 

기하학적 해석

https://youtu.be/gQSU0j8ydJA

(1+i*1/x) 변환을 중첩해서 성장시키면.

1/x길이가 x개 있기 때문에 호의 길이는 1이 된다.

그러면 라디안의 정의에 따라 각도는 1 라디안이 되고.

 

다음 공식이 유도된다. 

여기서 1 라디안을π배 하면 정확히 -180도가 되어 -1이 됨.

 

 

여기까지 오일러공식에 대한 증명을 몇 가지 다루어 보았다.

본론으로 들어가서 사원수에 대한 내용을 진행

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사원수

이게 왜 필요할까?

	오일러 각	행렬	사원수
저장 공간	작다 (3)	크다 (9)	작다 (4)
짐벌락 현상	발생	발생하지 않음	발생하지 않음
회전 보간	한 기저 축에 대해서만 가능	불가능	임의의 축에 가능
직관성	직관적	직관적이지 않다	직관적이지 않다

 

사원수는 회전에 대한 정보를 저장해놓은 4D 데이터라고 생각하면 된다.

허수처럼 연산 중간에서 촉매 역할을 해주는 방식으로 활용.

 

그런데 어떻게 3D인 벡터와 연산이 가능하게 되는지 알아보도록 하자.

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사원수도 허수 스터디 때 대략적인 내용은 나왔다.

사원수를 구성하는 세 허수 i,j,k

사원수 연산의 성질은 복소수와 유사하나,

곱셈에 대한 교환법칙이 성립하지 않는다. (이런 구조를 '유사체' 라고 한다)

그래서 사원수끼리 곱셈할 때는 왼쪽, 오른쪽 연산순서가 바뀌지 않게 조심해야 한다.

 

크기 (노름Norm) 또한 방식이 똑같다.

또한 크기가 1인 사원수를 '단위 사원수'라고 함.

 

켤레 사원수

복소수간의 곱의 성질과 동일함.

 

약식으로 사원수의 허수부 3개를 묶어서 벡터로 나타낸다.

이렇게 될 경우 덧셈과 곱셈을 해보면..

곱셈의 경우 외적 연산이 들어가서 교환법칙이 성립하지 않음을 알 수 있다.

 

다음과 같이 실수부가 0인 사원수는 '순허수 사원수'라고 부른다.

순허수 사원수끼리 곱하면.. 내적과 외적만 남아 단순해진다

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사원수와 오일러 공식

이제. 본격적으로 사원수 회전을 해보자

 

오일러 공식에서 우리는 복소수 중 크기가 1이고 제곱한 값이 -1인 허수를 이용해서 오일러 공식을 증명했었다.

그렇다면 사원수에서도 크기가 1이고 제곱한 값이 -1이 되는 값이 있지 않을까?

따라서 크기가 1인 순허수 사원수 qn을 제곱한 결과는 -1이 된다.

오일러공식에서 i대신 순허수 사원수 qn의 벡터 n을 사용할 수 있다.

회전사원수

 

 

회전사원수의 켤레사원수

이는 반대방향 회전으로도 해석할 수 있다. (삼각함수 성질로 인해 같음)

 

오일러 공식을 이용해서도 -𝜽만큼 회전을 의미한다는 것을 알 수 있다.

 

 

우리가 일반적으로 사용하는 3차원 공간의 벡터v는 순허수 사원수에 대응대는 개념

(4차원 값 중 1개가 0이므로 3차원)

이를 사원수를 이용해서 회전시키면.

실수부분이 남게되므로 3차원 공간 벡터로 사용할 수 없게 된다.

 

흠.. 사원수를 사용하려면 곱셈 결과가 항상 순허수 사원수가 되는 특별한 방법을 써야 할 것 같다.

이를 만족시키는 회전사원수의 곱셈은 어떤 형태인지 알아보자.

 

회전시킬 벡터v, 회전축 벡터n

회전축 기준으로 수평, 수직인 성분을 나눈다.

아래 그림을 보면 회전축에 수직인 성분만 회전시키고, 수평성분은 그대로 더하면 결과가 같다.

따라서 3차원 공간에서 회전은 다음과 같은 식이 될 것.

사원수를 오일러공식으로 바꿔 표현하면 다음과 같아진다.

여기서 수직성분 계산만 따로 생각해보자. (직교하는 각은 내적이 0이다!)

이번에는 회전식을 간략하게 정리하도록 연산순서를 바꿔보자.

연산순서 변경하면 외적의 성질에 의해 sin함수 부호가 반대가 된다. (교환법칙이 성립하지 않은 이유는 외적 때문이었다)

다음으로 회전각에 -𝜽를 대입해보자.

회전축과 직교하는 벡터에 대해서는 다음과 같은 식이 성립한다.

 

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이번에는 회전축에 평행한 벡터의 회전사원수 곱이 가지는 성질을 보자.

 

자, 거의 다 왔다.

식을 단순화 하기 위해, 회전사원수를 둘로 쪼개서 나타낸다.

기존 각은 절반의 각을 두 번 곱한 것과 동일하다 (지수함수의 성질)

또, 켤레사원수와의 곱은 +-되어 0도 회전되므로 곱셈의 항등원인 1에 대응된다.

 

여기까지 보인 식을 모으면!

각을 반으로 나눠서 앞에 회전사원수 뒤에 켤레회전사원수를 곱해주면

실수부 없이 3차원에서 사용 가능한 벡터 결괏값이 나온다!

 

회전사원수 q를 w와 벡터r로 표시해 간단하게 해 보겠다. (원리는 알았고 결과를 코드에 사용하기 위해)

 

위 공식을 코드로 사용한 것.

 

두 번 회전한 벡터를 v''라고 하면

위 공식을 사용(절반의 각으로 켤레사원수 이용) 했을 때

두 번 회전하더라도 두각을 합한 회전사원수 형태로 나온다는 점을 확인할 수 있다.

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이외에도 책에는 다른 곳에서 사용하기 위한 오일러각, 회전 행렬로의 변환 공식이 나오는데.. 분량상 여기까지 하겠습니다.

사실 사원수 남은 부분으로 한만큼 더 할 수 있지ㅁ

 

구면 선형 보간(slerp)에 관한 내용도 있는데, 공부해볼 사람은 해보는 것도 좋을 듯.

(변환공식과 보간이 사실 게임엔진의 회전에서 가장 많이 알아야하고 자주 사용되는 부분)

 

그럼 여기까지!